TEOREMA XX
Demostrar:
BC+CA>AB AB-BC<CA
RECTA: AC + BC > AB à Postulado 3
AC > BC –BC
AB – BC < AC à lqqd
TEOREMA XXI
Si 2 lados de un triangulo son desiguales, al mayor lado se opone al mayor lado
DEMOSTRAR:
<BAC < <B AC > BC à Hipótesis
CX = AC – X à Construcción
Triángulo ACX à Isósceles
< CXA = < XAC à lqqd
TEOREMA XII
Si dos ángulos de un triangulo son desiguale al mayor ángulo se opone mayor lado
DEMOSTRAR:
BC > CA
<A > <B
Si BC fuera = a CA
< A = < B à teorema IV
<B > <A à teorema XXI
<A = <B
<A < <B
BC >CA à l.q.q.d
TEOREMA XXIV
Si dos lados de un triangulo son respectivamente iguales a los lados de otro, y el ángulo comprendido por los dos primeros es mayor por el comprendido por los segundos, en 3 ángulo del primer triangulo es mayor que el tercero lado del segundo.
DEMOSTRAR:
<C > <Z
AB seria mayor que XY à teorema XXIII
Si C fuera = Z
El trgn. ABC = trgn. XYZ à corolario
C < Z
<C > <Z l.q.q.d
TEOREMA XXV
Si los lados de un ángulo son respectivamente paralelos a los de otro, los dos ángulos son iguales o suplementarios.
DEMOSTRAR:
<P = <O
<P’ es suplementario <O’
Prolongar AO hasta M.
OA es paralela a YW à hipótesis
OB es paralela a XZ à hipótesis
<P = <M à teorema XVIII
<M = <O à teorema XVIII
<P = <O à axioma 7 l.q.q.d
<P’ es suplementario al <P (suplementario o colineales)
<P = <O
<P’ es suplementario <O l.q.q.d
En todo paralelogramo cada lado es igual a su opuesto.
DEMOSTRAR:
AB = CD
AD = BC
Trazamos diagonal AC
Triangulo ABC = Triangulo ADC
AC = AC àidentidad
<BAC = <ACD à teorema XVI
<CAD = < ACB à teorema XVI
Triangulo ABC = Triangulo ADC àteorema III
AB = BC àl.q.q.d
TEOREMA XXVII
Demostrar:
ABCD es un paralelogramo
DC = AB à hipótesis
AD = CB àhipótesis
Triangulo ADC = Triangulo ABC àteorema VI
<BCA = <DCA à teorema XVI
<ACB = <CAD à corolario (las pastes homologas de dos figuras congruentes son iguales)
BC es paralela DA à teorema XVII
ABCD à paralelas l.q.q.d
TEOREMA XXVIII
Si dos de un cuadrilátero son iguales y paralelos, los otros 2 también lo son, y por lo tanto el cuadrilátero es un paralelogramo
DEMOSTRAR:ABCD es paralelogramo
Trazamos diagonales AC
AD = CB à hipótesis
<CAD = <ACB àteorema XVI
DC Perpendicular AB àteorema XVII
Triangulo BCD es paralela
TEOREMA XXIX
Las diagonales de un paralelogramo se dividen mutuamente en partes iguales.
DEMOSTRAR:
AO = OC
DO = OB
AB Paralelas DC àhipótesis
DA Paralelas BC àhipótesis
<OCD = <OAB à teorema XVI
<CDO = <OBA à teorema XVI
Triangulo OCD = Triangulo OAB à teorema III
AO = OC y DO = OB àl.q.q.d
TEOREMA XXX
Si dos lados adyacentes de un paralelogramo y el ángulo comprendido son respectivamente iguales a los de otro, los dos paralelogramos son iguales
AB = A’B’ àhipótesis
AD = A’D’ à hipótesis
<A = <A’ àhipótesis
A’ caiga en A à postulado 5
A’B’ toma la dirección de AB
A’D’ toma la dirección de AD
D’ caerá en D
B’ caerá B
<A = <C y <B = <D
D’C’ = DC àteorema XVII
BC = B’C’
ADCD = ABCD
TEOREMA XXXI
Si los segmentos determinados en una transversal por tres o más paralelas son iguales, también son iguales las determinadas en cualquiera otra transversal por las mismas paralelas
DEMOSTRAR:
AC = CE = EG
<APC, <CQE, <ERG = <BDC’, <DFE, <FHG àteorema XVIII
<BDC, <DFE, <FHG son iguales àteorema XVIII
<APC, <CQE, <ERG à axioma 7
AP, CQ, ER son paralelas à corolario 96
<CPA, <ECQ, <GER àteorema XVIII
AP = BD y CQ = DF y ER = FH
BD = DF = FH àhipótesis
AP = CQ = ER àaxioma 7
Triangulo CPA, Triangulo EQC, Triangulo GRE son iguales àteorema 3
AC = CE = EC à homologo l.q.q.d
TEOREMA XXXII
La suma de los ángulos interiores de un polígono es igual a dos rectas multiplicadas por el número de lados del polígono menos dos
DEMOSTRAR:
Que la suma de los ángulos internos 2rt (n-2)
Suma de ángulos de triángulos así formados en iguales a las dumas de los ángulos polígono à axioma 7
La suma de los ángulos de los (n-2) de los triángulos à la suma de los polígonos es 2rt x (n-2) l.q.q.d
Sumatoria de los ángulos internos del triángulo =180°
180° * 4 = 720°
<internos – (n-2)2rt
Numero de triángulos = número de lados -2
2rt =2*90
=180
EJEMPLO:
1.- Cual es la suma de los ángulos:
a) De un pentágono.
<’s internos = 180 (5-2)
= 180 * 3
= 540
b) De un hexágono
<’s internos = 180 (6-2)
= 180 *4
= 720
c) De un heptágono
<’s internos = 180 (7 -2)
= 180 * 5
= 900
d) De un octágono
<’s internos = 180 (8 - 2)
= 180 *6
= 1080
e) De un decágono
<’s internos = 180 (10 - 2)
= 180 * 8
= 1440
f) De un dodecágono
<’s internos = 180 (12 - 2)
= 180 * 10
= 1800
g) Polígono de 24
<’s internos = 180 (24 - 2)
= 180 * 22
= 3960
2.- Cinco de los lados de un hexágono son 100°, 120°, 130°, 150°, 90°. Respectivamente hállese el valor del otro
100 + 120° + 150° + 130° + 90° = 590°
-590 + 720 = 13°
TEOREMA XXXIII
La suma de los ángulos externos de un polígono formado prolongando los lados sucesivamente, es igual a cuadro rectas.
DEMOSTRAR:
<a’ + <b’ + <c’ + <e’ = 4rt
<a + <a’ = 180°
<b + <b’ = 180°
<internos + <externos = 180°
Sumatoria de ángulos internos + Sumatoria de ángulos externos = 2rt
n = número de lados de un polígono
Sumatoria de ángulos internos = 2rt (n-2)
Sumatoria de ángulos externos = 2rt - Sumatoria de ángulos internos
= 2rt – 2rt (n-2)
= 2rt * n – 2rt * n + 4rt
= 4rt l.q.q.d
EJEMPLO:
1.- Uno de los ángulos externos = 130° y el ángulo interno opuesto = 32°. Hallar los anglos de los triangulo
<a + <a = 180°
<a =180 – 130
<a = 50
<c = 180 – 32 – 50
<c = 98
TEOREMA XXXIV
La perpendicular bisectriz de una recta es el lugar geométrico de todos los puntos equidistantes de los extremos de una recta
DEMOSTRAR:
DY es lugar geométrico de los puntos de AB
AO = OB à hipótesis
OD = OP àidentidad
<AOP = <BOP
Triangulo AOP = Triangulo BOP à teorema II
AD = BP
OD = OD àidentidad
AO = OB
<AOD = <BOD AD=BD
CB < CD + BD à postilado 3
CB < CD + AD
CB < AC àl.q.q.d
(x – h)^2 + (y - k)^2
