Identidades Trigonométricas

Pitagóricas:

 

Senα = PQ/OP=PQ

Cosα = OP/OQ =OP

(OQ)² = (OP)² + (PQ)²

1= (OP)² + (PQ)²

1= cos²α + sen²α

Sen²α/cos²α + cos²α/cos2α = 1/cos²α

Tan²α + 1 = sec²α

Sen²α/sen²α + cos²α/sen²α = 1/sen²α

1 + ctg²α = csc²α

Recíprocas:

Senα = 1/cscα                        sen α  * csc α = 1

Cos α = 1/sec α                      cos α * sec α = 1

tan α= 1/ctg α                          tan α * ctg α = 1

Por cociente:

tan α = sen α /cos α

ctg α = cos α/ sen α

Es importante recordar algunas sugerencia que tendremos que tomar en cuenta para poder demostrar una igualdad o entidada trigonométrica.

1) Trabajar en los dos miembros de la igualdad y llegar a un mismo valor.

2) Obetener una identidad fundamental.

Ejemplo:

cosα * cscα = ctgα                                                  cosα * tanα = secα

cosα * 1/ senα = cosα/ senα                                  cosα * senα/cosα = 1/cosα    INCORRECTO   

cosα/senα = cosα/senα                                          senα = 1/cosα

FUNCIONES DE SUMA Y RESTA DE DOS ANGULOS.

Este cuadro de referencia les servirá mucho para cuando tengan que sacar el seno y el coseno de los ángulos principales; la respuesta de cada ángulo es la raíz que se encuentra en la parte inferior del mismo, y esa raíz se deberá dividir para dos.

Tenemos en el gráfico los triángulos: OAC; ADB; BFO; OAB.

BO = 1

OA = BO = 1

senα = AC/AO  por lo tanto  AC = senα * AO.

cosα = BD/AB  por lo tanto  BD = cosα * AB.

 cosβ = AO/BO  por lo tanto  AO = cosβ * BO

 senβ = AB/BO por lo tanto AB = senβ * BO.

Sen (α + β) = BF

Sen (α + β) = BD +DF

Sen (α + β) = BD + AC

AC = senα * AO

AC = senα * cosβ(BO)         BO = 1

BD = cosα * AB

BD = cosα * senβ(BO)         BO = 1

Sen (α + β) == senα * cosβ + cosα * senβ.

Sen (-α) = -senα

Cos(-α) = cosα

Senα * cos (-β) + cosα * sen (-β) = Senα * cosβ - cosα * senβ

Sen (α - β) == senα * cosβ - cosα * senβ.

Ejemplo:

Encontrar sen 15°

 sen (45 - 30) = sen45*cos30 - cos45*sen30

                          √2/2     √3/2    -   √2/2      √1/2

                                          √6/4          -            √2/4    =       (√6 - √2)/4

 

cos (α + β) = cosα * cosβ - senα * senβ.

cos (α - β) == cosα * cosβ + senα * senβ.