Teorema 1

Dos ángulos opuestos por el vértice son iguales.

Demostrar que el ˂ BOD = ˂AOC

Por ángulos suplementarios

˂BOD + ˂BOC=180˚

˂BOC + ˂AOC=180˚

˂BOD+˂BOC=˂BOC+˂AOC

˂BOD = ˂AOC  l.q.q.d.

Ejm:

Si el ángulo α=53˚; encontrar x,y,z

α=53˚

α=x

α=53

α+y=180˚   (por ángulos suplementarios)

53+y=180˚

y=180˚-53

y=27

y=z

Partes Homólogas: Llámese partes homólogas en dos figuras iguales o de una misma forma las q están semejantemente dispuestas en las dos figuras.

AB es homóloga con A`B`

Congruencia:  Dos figuras son congruentes cuando pueden hacerse coincidir en todas sus partes esto es, cuando son iguales.

Corolario: Las partes homólogas de dos figuras iguales son iguales.

TEOREMA 2

Hipótesis

AB = XY

CB = YZ

˂B = ˂Y

TEOREMA 3

TEOREMA 4

TEOREMA 5

Si dos ángulos  de un triángulo son iguales, los lados opuestos son iguales, y el triángulo es por lo tanto isósceles.

Demostrar que AC=BC

Por postulado 5

B´ encaja en A

AB=A`B` (HIPÓTESIS)

A` encaja en B

˂A=˂B  (HIPÓTESIS)

˂A`= B`(CONSTRUCCIÓN)

˂A=˂A`(HIPÓTESIS)

˂A=˂B`(AXIOMA 7)

΅B`C`=CA

C` encaja en C

΅A`C`=BC  (POR SUPERPOSICIÓN)

  B`C`= BC (POR CONSTRUCCIÓN)

  BC=CA  l.q.q.d  (AXIOMA 7)

TEOREMA 6

Si los 3 lados de un triángulo son respesctivamente iguales a los tres lados de otro, los dos triángulos son iguales.

Demostrar:  ∆ABC=∆A`B`C

Por postulado 5

Imagen

AB=A`B (HIPÓTESIS)

∆ABC` (POR POSTULADO 5)

AC=AC` (POR HIPÓTESIS)

BC=BC` (POR HIPÓTESIS)

Por Teorema 4

˂ACC`=˂AC`C

˂C`CB=˂CC`B

΅˂ACC`+ ˂BCC`=˂AC`C+˂BC`C (POR AXIOMA 1)

           ˂ACB = ˂AC`B  (POR AXIOMA 8)

∆ACB=∆AC`B (POR TEOREMA 2)

∆ABC`= ∆A`B`C`(AXIOMA 7)

΅∆ACB = ∆A`B`C` l.q.q.d

TEOREMA 7

Si de un punto situado en el interior de un triángulo se trazan rectas a los extremos de uno de los lados de la suma de estas rectas es menor que la suma de los otros dos lados del triángulo.

Demostrar que (AC+BC)› (AP+BP)

Por Postulado 2

∆ACQ

∆PQB

AC+CQ › AP+PQ (POR POSTULADO 3)

PQ+BQ › PB (POR POSTULADO 3)

AC+CQ+PQ+BQ › AP+PQ+PB (POR AXIOMA 5)

AC+PQ+CB  (POR AXIOMA 8)

AC+PQ+CB › AP+ PQ + PB

AC+CB › AP+PB  (POR AXIOMA 4)  l.q.q.d

Teorema 8

De un punto exterior a una recta no puede bajarse a esa recta más de una perpendicular.

Demostrar

P2 no es ǁ a XY

Extendemos PO  (POR POSTULADO 2)

OP`= OP (POR CONSTRUCCIÓN)

Trazamos P`Z

POP` es recta (POR POSTULADO 1 O 2)

΅PZP` no es una recta  (POSTULADO 1)

˂POZ = 90˚ ǀ

˂P`OZ = 90˚ ǀ

˂PZ = OZ (POR CONSTRUCCIÒN)

OZ=OZ (POR IDENTIDAD)

∆POZ= ∆P`OZ  (POR TEOREMA 2)

˂PZO no es recta

˂P`ZO no es recta

΅PZ  no es ǁ a XY l.q.q.d

Teorema 9

Si un punto de una perpendicular a una recta se trazan a la recta dos oblicuas cuyos pies estén a igual distancias del pie de la perpendicular estas dos oblicuas son iguales y forman ángulos con la perpendicular.

Demostrar

AP=BP; ˂APO = ˂BPO

˂AOP = 90˚ ǀ

˂BOP = 90˚ ǀ

DA=OB  (POR HIPÓTESIS)

OP=OP  (POR IDENTIDAD)

΅∆APO= ∆BPO  (POR TEOREMA 2)

AP = PB l.q.q.d         ˂APO = ˂BPO

Teorema 10

Si de un punto de una perpendicular a una recta se trazan a esa recta dos oblicuas cuyos pies no equidisten de la perpendicular, la oblicua cuyo pie dista más es mayor que la otra.

Demostrar

PA › PC

OC=BO  (POR CONSTRUCCIÓN)

Extendemos OP; OP = OP` (TEOREMA 2)

Trazamos P`B Y AP` (POR CONSTRUCCIÓN)

PA=P`A  (POR TEOREMA 9)

BP= BP` (POR TEOREMA 9)

AP+AP` › PP` (POSTULADO 3)

BP + BP`› PP` (POSTULADO 3)

AP+ AP` › BP+BP`

2AP › 2BP  (POR AXIOMA 8)

AP=BP  (POR AXIOMA 2)

BP=PC

΅AP › PC  (AXIOMA 8)  l.q.q.d

Teorema 11

La perpendicular es la más corta de las rectas que pueden trazarse a una recta de un punto situado fuera de ella

Imagen

Demostrar:  PQ ‹ PZ

PO = P`O

PZ = P`Z  (POR TEOREMA 9)

PO+P`O ‹ PZ+ P`Z   (POSTULADO 3)

2PO ‹ 2PZ

PO ‹ PZ  l.q.q.d

Teorema 12

Dos triángulos rectángulos son iguales si su hipotenusa y un cateto del uno son respectivamente iguales a la hipotenusa y el corte del otro.

I

Demostrar     ∆BAC = ∆A`B`C`

Unimos los ∆` (POR POSTULADO 5)

˂A`B`C`+ ˂ABC=180˚  (POR HIPÓTESIS)

  C`B`= C`B    (POR HIPÓTESIS)

A`C`= AC` (POR HIPÓTESIS/ TEOREMA 9)

∆AC`B`=∆A`C`B   (POR TEOREMA 2)

∆AC`B`= ∆ACB  (POR POSTULADO 5)

΅∆ABC = ∆A`B`C`  (POR AXIOMA)   l.q.q.d

Teorema 13

Dos triángulos son iguales si tienen respectivamente la hipotenusa y uno de los ángulos adyacentes a ella.

Demostrar  ∆ABC = ∆A`B`C`

AC= A`C` (POR HIPÓTESIS)

Superpongo A` en A

˂A = ˂A` (POR HIPÓTESIS)

C` caerá en C  (POR SUPERPOSICIÓN O CONGRUENCIA)

CB = C`B` (POR CONGRUENCIA)

AB = A`B` (POR CONGRUENCIA)

΅∆ABC = ∆A`B`C`   l.q.q.d

Teorema 14

Dos rectas situadas en un mismo plano y perpendiculares a una tercera no pueden encontrarse por más que se prolongen.

Demostrar   AB no se encuentra con CD

AB ǀ XY (POR HIPÓTESIS)

CD ǀ XY  (POR HIPÓTESIS)

˂BAC = 90˚  (TEOREMA 8)

˂DCA = 90˚  (TEOREMA 8)

Prolongamos AB por B  (no se encuentran)

Prolongamos CD por D  (no se encuentran)

΅AB no se encuentra con CD l.q.q.d.

Teorema 15

Si dos rectas son paralelas toda perpendicular a una de ellas es perpendicular a las rectas.

Demostrar: XY ǀ CD

MN es ǀ a XY  (POR CONSTRUCCIÓN)

MN es // a AB  (POR CONSTRUCCIÓN)

AB ǀ a CD  (POR HIPÓTESIS)

΅MN // CD

  MN = CD  xq pasa por el mismo punto de intersección.

XY ǀ AB  (POR HIPÓTESIS)

΅XY ǀ CD  l.q.q.d.

Teorema 16

Si dos paralelas son cortadas por una transversal, los ángulos alternos internos son iguales.

Demostrar: ˂OPM = ˂OQN

AB // CD  (POR HIPÓTESIS)

XY es transversal de AB y CD

Trazamos MN

MN ǀ AB  (POR CONSTRUCCIÓN)

˂M = 90˚

˂N = 90˚

MO = ON  (POR CONSTRUCCIÓN)

˂O = ˂O  (TEOREMA 1)

΅∆OPM = ∆QON  (TEOREMA 12)

˂OPM = ˂OQN

 l.q.q.d.