EL CÍRCULO

TEOREMA I

En un mismo círculo o en círculos iguales, ángulos centrales iguales intercepción arcos iguales, y el mayor de dos ángulos desiguales intercepta mayor

DEMOSTRAR:

Q’ el arco AB = arco A’B’

Q’ el arco AC = arco A’B’

                        Arco AB coincidirán con A’B’             à decisión del circulo

                        <AOC ><A’O’B’                                  à hipótesis

                        <AOB ><A’O’B’

                        <AOC ><AOB                          à axioma 8

                        AB = arco A’B’

                        AC > arco A’B’                                    à axioma 8    l.q.q.d

   � � � � p/\ P7Q              <AOD = <BOD                        AD=BD

                        CB < CD + BD à postilado 3

                        CB < CD + AD

                        CB < AC                      àl.q.q.d

TEOREMA II

En el mismo circulo o círculos iguales, arcos iguales, subtienden ángulos centrales  iguales, y el mayor de dos arcos desiguales subtender mayor ángulo central que el menor

DEMOSTRAR:

<AOB = <A’D’B’

<AOC ><A’O’B’

                        OB coincidencia con O’B’                  àpostulado 1

                        <AOB = <A’O’B’

                        Arco AC es mayor A’B

                        <AOC ><AOB                          à axioma 10

                        <AOC ><A’O’B’                                  àaxioma 8

TEOREMA III

En un mismo círculo o en círculos iguales, arcos iguales son subtendidos por cuerdas iguales, y el mayor de dos arcos desiguales es subtendido por mayor cuerda

DEMOSTRAR:

                        Trace  AO, OB, OF      à en el círculo O Y O’A’

                                                         OA = O’A’         y                      OB=O’B’

                        <AOB = <A’O’B’                      àteorema II

                        Cuerda AB = A’B’                   àcorolario

                        Triangulo OAF , O’A’B’

                        OA = O’B’,       OF = O’B’        àigualdad de radios

                        <AOF ><A’O’B’                                   àteorema II

                        Cuerda AF > A’B’                                àl.q.q.d

TEOREMA IV

En un mismo círculo o círculos iguales, cuerdas iguales subtienden arcos iguales y la mayor de dos cuerdas desiguales subtiende el mayor arco.

DEMOSTRAR:

Arco AB = arco A’B’

Arco AF = arco  A’B’

                        OA, OB, OF, O’A’, O’B’           àconstruccion

                        AO = A’O’        y          OB = O’B’        à igualdad de radios

                        Cuerda AB = cuerda A´B´                              àhipótesis

                        Triangulo OAB = Triangulo O’A’B’                àteorema VI

                        <AOB = A’O’B’                                               à corolario

                        AB = A’B’                                            àteorema I

                        OA = O’A’  y  OF=O’F’                                    à igualdad de radios

                        Cuerda AF > A´B                                            à hipótesis

                        <AOF ><A’O’F’                                               àteorema XIV

                        Arco AF > arco A´B’                           àl.q.q.d