Teorema 1
Dos ángulos opuestos por el vértice son iguales.
Demostrar que el ˂ BOD = ˂AOC
Por ángulos suplementarios
˂BOD + ˂BOC=180˚
˂BOC + ˂AOC=180˚
˂BOD+˂BOC=˂BOC+˂AOC
˂BOD = ˂AOC l.q.q.d.
Ejm:
Si el ángulo α=53˚; encontrar x,y,z
α=53˚
α=x
α=53
α+y=180˚ (por ángulos suplementarios)
53+y=180˚
y=180˚-53
y=27
y=z
Partes Homólogas: Llámese partes homólogas en dos figuras iguales o de una misma forma las q están semejantemente dispuestas en las dos figuras.
AB es homóloga con A`B`
Congruencia: Dos figuras son congruentes cuando pueden hacerse coincidir en todas sus partes esto es, cuando son iguales.
Corolario: Las partes homólogas de dos figuras iguales son iguales.
TEOREMA 2
Hipótesis
AB = XY
CB = YZ
˂B = ˂Y
TEOREMA 3
TEOREMA 4
TEOREMA 5
Si dos ángulos de un triángulo son iguales, los lados opuestos son iguales, y el triángulo es por lo tanto isósceles.
Demostrar que AC=BC
Por postulado 5
B´ encaja en A
AB=A`B` (HIPÓTESIS)
A` encaja en B
˂A=˂B (HIPÓTESIS)
˂A`= B`(CONSTRUCCIÓN)
˂A=˂A`(HIPÓTESIS)
˂A=˂B`(AXIOMA 7)
΅B`C`=CA
C` encaja en C
΅A`C`=BC (POR SUPERPOSICIÓN)
B`C`= BC (POR CONSTRUCCIÓN)
BC=CA l.q.q.d (AXIOMA 7)
TEOREMA 6
Si los 3 lados de un triángulo son respesctivamente iguales a los tres lados de otro, los dos triángulos son iguales.
Demostrar: ∆ABC=∆A`B`C
Por postulado 5
Imagen
AB=A`B (HIPÓTESIS)
∆ABC` (POR POSTULADO 5)
AC=AC` (POR HIPÓTESIS)
BC=BC` (POR HIPÓTESIS)
Por Teorema 4
˂ACC`=˂AC`C
˂C`CB=˂CC`B
΅˂ACC`+ ˂BCC`=˂AC`C+˂BC`C (POR AXIOMA 1)
˂ACB = ˂AC`B (POR AXIOMA 8)
∆ACB=∆AC`B (POR TEOREMA 2)
∆ABC`= ∆A`B`C`(AXIOMA 7)
΅∆ACB = ∆A`B`C` l.q.q.d
TEOREMA 7
Si de un punto situado en el interior de un triángulo se trazan rectas a los extremos de uno de los lados de la suma de estas rectas es menor que la suma de los otros dos lados del triángulo.
Demostrar que (AC+BC)› (AP+BP)
Por Postulado 2
∆ACQ
∆PQB
AC+CQ › AP+PQ (POR POSTULADO 3)
PQ+BQ › PB (POR POSTULADO 3)
AC+CQ+PQ+BQ › AP+PQ+PB (POR AXIOMA 5)
AC+PQ+CB (POR AXIOMA 8)
AC+PQ+CB › AP+ PQ + PB
AC+CB › AP+PB (POR AXIOMA 4) l.q.q.d
Teorema 8
De un punto exterior a una recta no puede bajarse a esa recta más de una perpendicular.
Demostrar
P2 no es ǁ a XY
Extendemos PO (POR POSTULADO 2)
OP`= OP (POR CONSTRUCCIÓN)
Trazamos P`Z
POP` es recta (POR POSTULADO 1 O 2)
΅PZP` no es una recta (POSTULADO 1)
˂POZ = 90˚ ǀ
˂P`OZ = 90˚ ǀ
˂PZ = OZ (POR CONSTRUCCIÒN)
OZ=OZ (POR IDENTIDAD)
∆POZ= ∆P`OZ (POR TEOREMA 2)
˂PZO no es recta
˂P`ZO no es recta
΅PZ no es ǁ a XY l.q.q.d
Teorema 9
Si un punto de una perpendicular a una recta se trazan a la recta dos oblicuas cuyos pies estén a igual distancias del pie de la perpendicular estas dos oblicuas son iguales y forman ángulos con la perpendicular.
Demostrar
AP=BP; ˂APO = ˂BPO
˂AOP = 90˚ ǀ
˂BOP = 90˚ ǀ
DA=OB (POR HIPÓTESIS)
OP=OP (POR IDENTIDAD)
΅∆APO= ∆BPO (POR TEOREMA 2)
AP = PB l.q.q.d ˂APO = ˂BPO
Teorema 10
Si de un punto de una perpendicular a una recta se trazan a esa recta dos oblicuas cuyos pies no equidisten de la perpendicular, la oblicua cuyo pie dista más es mayor que la otra.
Demostrar
PA › PC
OC=BO (POR CONSTRUCCIÓN)
Extendemos OP; OP = OP` (TEOREMA 2)
Trazamos P`B Y AP` (POR CONSTRUCCIÓN)
PA=P`A (POR TEOREMA 9)
BP= BP` (POR TEOREMA 9)
AP+AP` › PP` (POSTULADO 3)
BP + BP`› PP` (POSTULADO 3)
AP+ AP` › BP+BP`
2AP › 2BP (POR AXIOMA 8)
AP=BP (POR AXIOMA 2)
BP=PC
΅AP › PC (AXIOMA 8) l.q.q.d
Teorema 11
La perpendicular es la más corta de las rectas que pueden trazarse a una recta de un punto situado fuera de ella
Imagen
Demostrar: PQ ‹ PZ
PO = P`O
PZ = P`Z (POR TEOREMA 9)
PO+P`O ‹ PZ+ P`Z (POSTULADO 3)
2PO ‹ 2PZ
PO ‹ PZ l.q.q.d
Teorema 12
Dos triángulos rectángulos son iguales si su hipotenusa y un cateto del uno son respectivamente iguales a la hipotenusa y el corte del otro.
I
Demostrar ∆BAC = ∆A`B`C`
Unimos los ∆` (POR POSTULADO 5)
˂A`B`C`+ ˂ABC=180˚ (POR HIPÓTESIS)
C`B`= C`B (POR HIPÓTESIS)
A`C`= AC` (POR HIPÓTESIS/ TEOREMA 9)
∆AC`B`=∆A`C`B (POR TEOREMA 2)
∆AC`B`= ∆ACB (POR POSTULADO 5)
΅∆ABC = ∆A`B`C` (POR AXIOMA) l.q.q.d
Teorema 13
Dos triángulos son iguales si tienen respectivamente la hipotenusa y uno de los ángulos adyacentes a ella.
Demostrar ∆ABC = ∆A`B`C`
AC= A`C` (POR HIPÓTESIS)
Superpongo A` en A
˂A = ˂A` (POR HIPÓTESIS)
C` caerá en C (POR SUPERPOSICIÓN O CONGRUENCIA)
CB = C`B` (POR CONGRUENCIA)
AB = A`B` (POR CONGRUENCIA)
΅∆ABC = ∆A`B`C` l.q.q.d
Teorema 14
Dos rectas situadas en un mismo plano y perpendiculares a una tercera no pueden encontrarse por más que se prolongen.
Demostrar AB no se encuentra con CD
AB ǀ XY (POR HIPÓTESIS)
CD ǀ XY (POR HIPÓTESIS)
˂BAC = 90˚ (TEOREMA 8)
˂DCA = 90˚ (TEOREMA 8)
Prolongamos AB por B (no se encuentran)
Prolongamos CD por D (no se encuentran)
΅AB no se encuentra con CD l.q.q.d.
Teorema 15
Si dos rectas son paralelas toda perpendicular a una de ellas es perpendicular a las rectas.
Demostrar: XY ǀ CD
MN es ǀ a XY (POR CONSTRUCCIÓN)
MN es // a AB (POR CONSTRUCCIÓN)
AB ǀ a CD (POR HIPÓTESIS)
΅MN // CD
MN = CD xq pasa por el mismo punto de intersección.
XY ǀ AB (POR HIPÓTESIS)
΅XY ǀ CD l.q.q.d.
Teorema 16
Si dos paralelas son cortadas por una transversal, los ángulos alternos internos son iguales.
Demostrar: ˂OPM = ˂OQN
AB // CD (POR HIPÓTESIS)
XY es transversal de AB y CD
Trazamos MN
MN ǀ AB (POR CONSTRUCCIÓN)
˂M = 90˚
˂N = 90˚
MO = ON (POR CONSTRUCCIÓN)
˂O = ˂O (TEOREMA 1)
΅∆OPM = ∆QON (TEOREMA 12)
˂OPM = ˂OQN
l.q.q.d.
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