Teorema 1

Dos ángulos opuestos por el vértice son iguales.

Demostrar que el ˂ BOD = ˂AOC

Por ángulos suplementarios

˂BOD + ˂BOC=180˚

˂BOC + ˂AOC=180˚

˂BOD+˂BOC=˂BOC+˂AOC

˂BOD = ˂AOC  l.q.q.d.

Ejm:

Si el ángulo α=53˚; encontrar x,y,z

α=53˚

α=x

α=53

α+y=180˚   (por ángulos suplementarios)

53+y=180˚

y=180˚-53

y=27

y=z

Partes Homólogas: Llámese partes homólogas en dos figuras iguales o de una misma forma las q están semejantemente dispuestas en las dos figuras.

AB es homóloga con A`B`

Congruencia:  Dos figuras son congruentes cuando pueden hacerse coincidir en todas sus partes esto es, cuando son iguales.

Corolario: Las partes homólogas de dos figuras iguales son iguales.

Transformación en Productos las sumas y restas de senos y consenos.

Transformación en Productos las sumas y restas de senos y consenos.

Sen (α + β) = senα * cosβ + cosα * senβ

Sen (α - β) = senα * cosβ - cosα * senβ.

Sumamos las dos expresiones:

Sen (α + β) + Sen (α - β) = 2 senα * cosβ

Restamos las dos expresiones:

Sen (α + β) - Sen (α - β) = 2 cosα * senβ

α + β = A             α – β= B

senA + senB = 2 senα * cosβ.

Entonces se podría definir como :

2α = A+B             2β = A-B

 α = A+B/2          β = A-B/2

senA + senB = 2 sen (A+B/2)  * cos (A-B/2)

senA - senB = 2 cos (A+B/2)  * sen (A-B/2)

Demostrar:

Sen 36 + sen 24 = cos 6

2 sen((36+24)/2) * cos ((36-24)/2) = cos 6

2 sen 30 * cos 6 = cos 6

2 * √1/2 * cos 6 = cos 6

Cos 6 = cos 6

cosA + cosB = 2 cos (A+B/2)  * cos (A-B/2)

senA - senB = - 2 sen (A+B/2)  * sen (A-B/2)

En el siguiente espacio podemos observar un ejemplo de las graficas de seno, coseno y tangente.

Funciones del ángulo α/2; conocido cos α

FUNCIONES DEL ANGULO α ; CONOCIDO COMO α/2

Cos²α/2 + sen²α/2 = 1

Cos²α/2 – sen²α/2 = cos2α/2

Sumamos:

2cos²α/2 = 1 + cos2α à   cosα/2 = √(1 + cos α) / 2.

Restamos:

2sen² α/2 = 1 - cos α à  2sen² α/2 = 1- cos α

                                          Sen α/2 = √(1 - cos α) / 2.

Tan α/2 = (sen α/2) / (cos α/2)

Tan α/2 = (√(1- cos α) / 2)/ =( √(1 + cos α) / 2)

Tan α/2 = √(1 - cos α)/ (1 + cos α)

Tan α/2 = sen α/ 1 + cos α

Tan α/2 = 1 - cos α/ sen α

Ejemplo:

Dado sen α = 3/5; calcular sen α/2

Sen α = C.A./H = 3/5  C.A = 4  por lo tanto el cos α = 4/5

Sen α/2 = = √(1 - cos α) / 2

Sen α/2 = = √(1 – 4/5) / √2

Sen α/2 = =( √1/5) / √2

Sen α/2 = = √1/10

Sen α/2 = = √1/√10 * √10/√10 = √10/10

Función del ángulo doble.

sen2α =  2senαcosα   Cuando  α = β

sen (α + β) = senα * cosβ + cosα * senβ.

cos (α + α ) = senα * cosα + cosα * senα.

sen2α =   2senαcosα                                              

Ejemplo:

 sen180° = sen (2*90) = 2sen90cos90 = 0

Cos2α = cos²α – sen²α   Cuando  α = β        

cos (α + β) = cosα * cosβ - senα * senβ.

cos (α + α ) = cosα * cosα - senα * senα.

Cos2α = cos² α – sen² α

cos² 120 – sen² 120

cos² (2*60) – sen² (2*60)

(cos²60 – sen²60)² – (2sen60cos60)²

((√1/2)² – (√3/2)²)² – (2 * √3/2 * √1/2)²

(1/4 – 3/4)² – 3/4

1/4 – 3/4 = -1/2

Tan2 α = sen2 α /cos2 α

Tan2 α = 2senα cosα / cos²α – sen²α

 Tan2 α = (2senα cosα / cos²α) / (cos²α – sen²α / cos²α)

Tan2 α = (2senα / cosα) / (1 – (sen²α / cos²α))       

Tan2 α = 2 tanα/ 1 – tan²α

Identidades Trigonométricas

Pitagóricas:

 

Senα = PQ/OP=PQ

Cosα = OP/OQ =OP

(OQ)² = (OP)² + (PQ)²

1= (OP)² + (PQ)²

1= cos²α + sen²α

Sen²α/cos²α + cos²α/cos2α = 1/cos²α

Tan²α + 1 = sec²α

Sen²α/sen²α + cos²α/sen²α = 1/sen²α

1 + ctg²α = csc²α

Recíprocas:

Senα = 1/cscα                        sen α  * csc α = 1

Cos α = 1/sec α                      cos α * sec α = 1

tan α= 1/ctg α                          tan α * ctg α = 1

Por cociente:

tan α = sen α /cos α

ctg α = cos α/ sen α

Es importante recordar algunas sugerencia que tendremos que tomar en cuenta para poder demostrar una igualdad o entidada trigonométrica.

1) Trabajar en los dos miembros de la igualdad y llegar a un mismo valor.

2) Obetener una identidad fundamental.

Ejemplo:

cosα * cscα = ctgα                                                  cosα * tanα = secα

cosα * 1/ senα = cosα/ senα                                  cosα * senα/cosα = 1/cosα    INCORRECTO   

cosα/senα = cosα/senα                                          senα = 1/cosα

FUNCIONES DE SUMA Y RESTA DE DOS ANGULOS.

Este cuadro de referencia les servirá mucho para cuando tengan que sacar el seno y el coseno de los ángulos principales; la respuesta de cada ángulo es la raíz que se encuentra en la parte inferior del mismo, y esa raíz se deberá dividir para dos.

Tenemos en el gráfico los triángulos: OAC; ADB; BFO; OAB.

BO = 1

OA = BO = 1

senα = AC/AO  por lo tanto  AC = senα * AO.

cosα = BD/AB  por lo tanto  BD = cosα * AB.

 cosβ = AO/BO  por lo tanto  AO = cosβ * BO

 senβ = AB/BO por lo tanto AB = senβ * BO.

Sen (α + β) = BF

Sen (α + β) = BD +DF

Sen (α + β) = BD + AC

AC = senα * AO

AC = senα * cosβ(BO)         BO = 1

BD = cosα * AB

BD = cosα * senβ(BO)         BO = 1

Sen (α + β) == senα * cosβ + cosα * senβ.

Sen (-α) = -senα

Cos(-α) = cosα

Senα * cos (-β) + cosα * sen (-β) = Senα * cosβ - cosα * senβ

Sen (α - β) == senα * cosβ - cosα * senβ.

Ejemplo:

Encontrar sen 15°

 sen (45 - 30) = sen45*cos30 - cos45*sen30

                          √2/2     √3/2    -   √2/2      √1/2

                                          √6/4          -            √2/4    =       (√6 - √2)/4

 

cos (α + β) = cosα * cosβ - senα * senβ.

cos (α - β) == cosα * cosβ + senα * senβ.